Question

（2010•鄭州三模）過拋物線y²=2px（p＞0）的對稱軸上的定點(diǎn)M（m，0）（m＞0），作直線AB與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）試證明A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；
（Ⅱ）若點(diǎn)N（-m，2m），求直線AN、BN的斜率之和．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)直線AB的方程為x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）設(shè)直線AN，BN的斜率分別為k₁k₂，利用向量計算公式可得k1=

y1-2m

x1+m

，k2=

y2-2m

x2+m

又x=

y2

2p

，2pm=-y₁y₂，且y₁≠y₂，即可證明k₁+k₂=定值．

解答：（1）證明：由題意設(shè)直線AB的方程為x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=ty+m y2=2px

 消x得：y²-2pty-2pm=0    ①
∴y₁y₂=-2pm為定值．   
（2）解：設(shè)直線AN，BN的斜率分別為k₁k₂，
則k1=

y1-2m

x1+m

，k2=

y2-2m

x2+m

又x=

y2

2p

，2pm=-y₁y₂，且y₁≠y₂，
所以k₁+k₂=

y1-2m

y 2 1 2p +m

+

y2-2m

y 2 2 2p +m

=2p（

y1-2m

y 2 1 +2pm

+

y2-2m

y 2 2 +2pm

）
=2p（

y1-2m

y 2 1 -y1y2

+

y2-2m

y 2 2 -y1y2

）
=2p•

y1y2-2y2m-y1y2+2y1m

y1y2(y1-y2)

=

4pm

y1y2

=-2．
即直線AN，BN的斜率和為-2為所求．

點(diǎn)評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式等是解題的關(guān)鍵．