Question

已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，

NA

+

NB

+

NC

=

0

，且

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的（　　）

A．重心 外心 垂心

B．重心 外心 內(nèi)心

C．外心 重心 垂心

D．外心 重心 內(nèi)心

Answer 1

分析：據(jù)O到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，得到O是三角形的外心，根據(jù)所給的四個選項(xiàng)，第一個判斷為外心的只有③④兩個選項(xiàng)，只要判斷第三個條件可以得到三角形的什么心就可以，移項(xiàng)相減，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．

解答：解：∵|

.

OA

|=|

.

OB

|=|

.

OC

|，∴O到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，
∴O是三角形的外心，
根據(jù)所給的四個選項(xiàng)，第一個判斷為外心的只有C，D兩個選項(xiàng)，
∴只要判斷第三個條件可以得到三角形的內(nèi)心或垂心就可以，
∵

.

PA

•

.

PB

=

.

PB

•

.

PC

=

.

PC

•

.

PA

，∴

PB

•（

PA

-

PC

）=0，

PB

•

CA

=0，∴

PB

⊥

CA

，
同理得到另外兩個向量都與邊垂直，
得到P是三角形的垂心，
故選C．

點(diǎn)評：本小題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則、三角形五心等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，本題是一個考查的向量的知識點(diǎn)比較全面的題目，把幾種三角形的心總結(jié)的比較全面，解題時注意向量的有關(guān)定律的應(yīng)用．