Question

17．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，則$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，然后分別過A，B作BC，AC的垂線AD，BE，垂足分別為D，E，根據(jù)三角形的面積公式便可得到：$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|•\frac{sinB}{sinA}$，而由條件$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$便可得到$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA=3|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cosB$，帶入前面的式子即可得到$\frac{sinB}{sinA}•cosA=3cosB$，這樣即可求出$\frac{tanA}{tanB}$的值．

解答 解：如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D，作BE⊥AC，垂足為E，則：

$|\overrightarrow{AB}|sinA•|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}|sinB•|\overrightarrow{BC}|$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|•\frac{sinB}{sinA}$；
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$得，$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA=3|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cosB$；
∴$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|•\frac{sinB}{sinA}•cosA=3|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cosB$；
∴$\frac{sinB}{sinA}•cosA=3cosB$；
∴$\frac{sinB}{cosB}=3•\frac{sinA}{cosA}$，即tanB=3tanA；
∴$\frac{tanA}{tanB}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查正弦函數(shù)的定義，三角形的面積公式，以及數(shù)量積的計(jì)算公式，弦化切公式．