Question

10．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)Q，交x軸的正半軸于點(diǎn)S，且有|FP|=|FS|．當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3時(shí)，|PF|=|PS|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直線l₁∥l，且l₁和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E．
（�。┳C明直線PE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）△PQE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的p值；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出直線PQ的方程，利用直線l₁∥l，且l₁和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線PE的方程，將方程化為點(diǎn)斜式，可求出定點(diǎn)；
（ⅱ） 利用弦長(zhǎng)公式求出弦PQ的長(zhǎng)度，再求點(diǎn)E到直線PQ的距離，得到關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值．

解答 解：（I）如圖所示，由題意可得：x_P=3時(shí)，△PFS是等邊三角形，|PF|=3+$\frac{p}{2}$，
∴3-$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$$（3+\frac{p}{2}）$，解得p=2．∴拋物線C的方程為：y²=4x．
（II）（i）證明：設(shè)P（x₁，y₁），${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，
∵|FP|=|FS|=x₁+1，
∴S（x₁+2，0），
∴k_PQ=-$\frac{{y}_{1}}{2}$．
由直線l₁∥l可設(shè)直線l₁方程為y=-$\frac{{y}_{1}}{2}$x+m，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{y}_{1}}{2}x+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得${y}_{1}{y}^{2}$+8y-8m=0  ①
由l₁和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)得△=64+32y₁m=0，∴y₁m=-2，
這時(shí)方程①的解為y=-$\frac{4}{{y}_{1}}$，代入y=-$\frac{{y}_{1}}{2}$x+m，
得x=m²，∴E（m²，2m）．
點(diǎn)P的坐標(biāo)可化為$（\frac{1}{{m}^{2}}，-\frac{2}{m}）$，直線PE方程為y-2m=$\frac{-\frac{2}{m}-2m}{\frac{1}{{m}^{2}}-{m}^{2}}$（x-m²），
即y-2m=$\frac{2m}{{m}^{2}-1}$（x-m²），
令y=0，可得x=1，
∴直線AE過(guò)定點(diǎn)（1，0）．
（ⅱ）設(shè)Q（x₂，y₂）．
直線PQ的方程為$y-{y}_{1}=-\frac{{y}_{1}}{2}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}）$，即x=-$\frac{2}{{y}_{1}}y$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$+2．
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{{y}_{1}}y+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得y²+$\frac{8}{{y}_{1}}$y-$（{y}_{1}^{2}+8）$=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{8}{{y}_{1}}$，y₁y₂=-$（{y}_{1}^{2}+8）$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}$$|2{y}_{1}+\frac{8}{{y}_{1}}|$．
∴E$（\frac{4}{{y}_{1}^{2}}，-\frac{4}{{y}_{1}}）$，
點(diǎn)E到直線PQ的距離為：d=$\frac{|\frac{4}{{y}_{1}^{2}}-\frac{8}{{y}_{1}^{2}}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-2|}{\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}}$=$\frac{|\frac{4}{{y}_{1}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}+2|}{\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}}$，
∴△ABE的面積S=$\frac{1}{2}$d|PQ|=$|{y}_{1}+\frac{4}{{y}_{1}}|•$$|\frac{4}{{y}_{1}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}+2|$≥$2\sqrt{{y}_{1}•\frac{4}{{y}_{1}}}$$•（2\sqrt{\frac{2}{{y}_{1}}•\frac{{y}_{1}}{2}}）^{2}$=16，
當(dāng)且僅當(dāng)y₁=±2時(shí)等號(hào)成立，
∴△ABE的面積最小值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、直線與拋物線相切切線問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．