Question

16．化簡S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1的結果是（　　）

• A． 2ⁿ⁺¹-n
• B． 2ⁿ⁺¹-n+2
• C． 2ⁿ-n-2
• D． 2ⁿ⁺¹-n-2

Answer 1

分析 利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1，
∴2S_n=n×2+（n-1）×2²+…+2×2^n-1+2ⁿ，
可得S_n=-n+2+2²+…+2^n-1+2ⁿ=-n+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-n-2．
故選：D．

點評 本題考查了“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．