Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

3

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A．B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P與A、B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（3）若M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，且

|OP|

|OM|

=2，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

（1）由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴d=

2

2

=b，即b=

2

，
又e=

c

a

=

3

3

，即a=

3

c，
∵a²=b²+c²，
∴a=

3

，c=1，
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-

3

，0），B（

3

，0），
∴k₁=

y0

x0+ 3

，k₂=

y0

x0- 3

∵

x02

3

+

y02

2

=1，∴y02=2-

2x02

3

，
∴k₁•k₂=

y02

x02-( 3 )2

=

2- 2x02 3

x02-( 3 )2

=-

2

3

；
（3）設(shè)M（x，y），其中x∈[-

3

，

3

]．
由已知

|OP|

|OM|

=2及點(diǎn)P在橢圓C上可得

x2+2- 2 3 x2

x2+y2

=4
整理得

x2

6 11

+

y2

2

=1，其中x∈[-

3

，

3

]．