Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin

C-A

2

+cos

C+A

2

的值是（　　）

A．1

B． 1 2

C． 1 3

D．-1

Answer 1

∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

b（a-c），
∴acsinB=b（a-c），
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinAsinBsinC=sinB（sinA-sinC），
∵sinB≠0，
∴sinA-sinC=sinAsinC，
∴2cos

C+A

2

sin

C-A

2

=

1

2

[cos（A-C）-cos（A+C）]，
又cos（A-C）=1-2sin²

A-C

2

，cos（A+C）=2cos²

A+C

2

-1，
∴（sin

C-A

2

+cos

C+A

2

）²=sin²

A-C

2

+2sin

C-A

2

+cos

C+A

2

+cos²

A+C

2

=

1

2

[1-cos（C-A）]+

1

2

[cos（C-A）-cos（A+C）]+

1

2

[1+cos（C+A）]=1，
∵c-a＞0，∴C＞A，
∴0＜

C-A

2

＜90°，
∴sin

C-A

2

＞0，
又

C+A

2

=90°-

B

2

，且0＜90°-

B

2

＜90°，
∴cos

C+A

2

＞0，
∴sin

C-A

2

+cos

C+A

2

＞0，
則sin

C-A

2

+cos

C+A

2

=1．
故選A