Question

17．在平面直角坐標系中，已知圓A過直線y=x和圓x²+y²=4的交點，且被交點所在的弦在圓A中所對的圓心角為$\frac{π}{3}$，則圓A的標準方程為（x-$\sqrt{6}$）²+（y+$\sqrt{6}$）²=16或（x+$\sqrt{6}$）²+（y-$\sqrt{6}$）²=16．

Answer 1

分析 由題意，圓A過直線y=x和圓x²+y²=4的交點，那么圓心在直線y=-x上，根據(jù)被交點所在的弦在圓A中所對的圓心角為$\frac{π}{3}$，弦長d=2，即可求半徑，從而求得圓A的標準方程．

解答 解：由題意，圓A過直線y=x和圓x²+y²=4的交點，那么圓心在直線y=-x上，弦長d=2，
設圓心（a，-a），被交點所在的弦在圓A中所對的圓心角為$\frac{π}{3}$，
∴r=4
圓心到直線x-y=0的距離d=$\frac{|2a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{tan\frac{π}{6}}$，
解得a=$±\sqrt{6}$．
半徑r=4．
∴得圓A的標準方程為（x-$\sqrt{6}$）²+（y+$\sqrt{6}$）²=16或（x+$\sqrt{6}$）²+（y-$\sqrt{6}$）²=16．
故答案為：（x-$\sqrt{6}$）²+（y+$\sqrt{6}$）²=16或（x+$\sqrt{6}$）²+（y-$\sqrt{6}$）²=16．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷，根據(jù)直線被截得的弦長與圓心，交點構成直角三角形是解決本題的關鍵．