Question

20．已知函數(shù)$f（x）=a（{x-\frac{1}{x}}）-2lnx，a∈R$．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，判斷函數(shù)f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)a=1時，f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷符號，進(jìn)而得到是否存在極值；
（Ⅱ）求出f9x）的導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)a≥1時，當(dāng)0＜a＜1時，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，求出單調(diào)區(qū)間，即可得到．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，x＞0，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
即有f（x）在（0，+∞）遞增，函數(shù)f（x）不存在極值；
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減；
當(dāng)a＞0時，x＞0，f′（x）=0和方程ax²-2x+a=0由相同的實(shí)根，△=4-4a²，
①當(dāng)0＜a＜1時，△＞0，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，且x₁＜x₂，
x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，f（x）遞減；x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
②當(dāng)a≥1時，△≤0，f′（x）＞0，f（x）遞增．
綜上可得，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）的減區(qū)間為（$\frac{1-\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$），
增區(qū)間為（0，$\frac{1-\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$），（$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，+∞）；
當(dāng)a≥1時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，同時考查分類討論的思想方法，注意化簡和整理的運(yùn)算能力的培養(yǎng)，屬于中檔題和易錯題．