Question

已知函數(shù)f(x),當x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；

（2）如果x∈R⁺，f（x）＜0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最值.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析   (Ⅱ) f(x）在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.

解析:

（1）證明：  ∵函數(shù)定義域為R，其定義域關于原點對稱.

∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).

（2）解：方法一  設x,y∈R⁺，∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R⁺，f（x）＜0,

∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).

∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是減函數(shù).又∵f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，

∴f（x）在（-∞,+∞）上是減函數(shù).∴f（-2）為最大值，f(6)為最小值.

∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.

方法二  設x₁＜x₂,且x₁,x₂∈R.則f(x₂-x₁)=f［x₂+(-x₁)］=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁).

∵x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＜0.∴f(x₂)-f(x₁)＜0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.

∴f（-2）為最大值，f（6）為最小值.∵f（1）=-，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，

f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x）在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.