Question

19．在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）若曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=3+rcosα\\ y=-2+rsinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）與曲線C所表示的圖形都相切，求r的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用極坐標與直角坐標的互化公式把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程．
（2）把曲線C₁的參數(shù)方程化為直角坐標方程，根據(jù)兩圓的圓心距等于半徑之和或等于半徑之差列出方程，解方程求得r的值．

解答 解：（1）在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．
兩邊同時乘以ρ，可得ρ²=4ρsinθ，即 x²+y²=4y，即曲線C的直角坐標方程為 （x-0）²+（y-2）²=4．
（2）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=3+rcosα\\ y=-2+rsinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），即 （x-3）²+（y+2）²=r²，
根據(jù)它與曲線C所表示的圖形都相切，∴兩圓的圓心距等于半徑之和或等于半徑之差，
故有$\sqrt{{（3-0）}^{2}{+（-2-2）}^{2}}$=2+|r|，或 $\sqrt{{（3-0）}^{2}{+（-2-2）}^{2}}$=|2-|r||．
解得r=±3 或r=±7．

點評 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，圓和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．