Question

a∈Z，求使

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

4n+1

＞2a-5對(duì)n∈N恒成立的a的最大值．

Answer 1

分析：先構(gòu)造函數(shù)f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

4n+1

，求出f（n+1），利用f（n+1）-f（n）的符號(hào)確定f（n）的單調(diào)性，求出f（n）的最小值，建立不等關(guān)系解之即可，注意條件a∈Z．

解答：解：令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

4n+1

則f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

4n+1

+

1

4n+2

+

1

4n+3

+

1

4n+4

+

1

4n+5

f（n+1）-f（n）=

1

4n+2

+

1

4n+3

+

1

4n+4

+

1

4n+5

-

1

n+1

＞0
∴f（n）是單調(diào)遞增函數(shù)，故最小值為f（0）=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

∴2a-5＜

25

12

解得a＜

85

24

故a的最大值為3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式恒成立問題，屬于中檔題．