Question

（13分）已知圓C的方程為x²+（y﹣4）²=4，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．直線l：y=kx與圓C交于M，N兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)Q（m，n）是線段MN上的點(diǎn)，且．請(qǐng)將n表示為m的函數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（Ⅱ）n=（m∈（﹣，0）∪（0，））

【解析】（Ⅰ）將y=kx代入x²+（y﹣4）²=4中，得：（1+k²）x²﹣8kx+12=0（*），

根據(jù)題意得：△=（﹣8k）²﹣4（1+k²）×12＞0，即k²＞3，

則k的取值范圍為（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；

（Ⅱ）由M、N、Q在直線l上，可設(shè)M、N坐標(biāo)分別為（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），

∴|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，|OQ|²=m²+n²=（1+k²）m²，

代入=+得：=+，

即=+=，

由（*）得到x₁+x₂=，x₁x₂=，

代入得：=，即m²=，

∵點(diǎn)Q在直線y=kx上，∴n=km，即k=，代入m²=，化簡(jiǎn)得5n²﹣3m²=36，

由m²=及k²＞3，得到0＜m²＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），

根據(jù)題意得點(diǎn)Q在圓內(nèi)，即n＞0，

∴n==，

則n與m的函數(shù)關(guān)系式為n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．