Question

如圖，三條直線，b，c兩兩平行，直線，間的距離為，直線b，c間的距離為，A，B為直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，且AB=2，MN是在直線b上滑動(dòng)的長(zhǎng)度為2的線段．

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求△AMN的外心C的軌跡E；

(2)當(dāng)△AMN的外心在E上什么位置時(shí)，使d+BC最小?最小值是多少?(其中d為外心C到直線c的距離)

Answer 1

解：(1)以直線b為軸，以過點(diǎn)A且與直線b垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意有A(0，)，△AMN的外心為C(，)，則M(一，0)，

    N(+，0)，由題意有|CA|=|CM|，

    ∴．

    化簡(jiǎn)，得，這是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、軸為對(duì)稱軸、開口向上的拋物線．

(2)不難知道，直線c恰為軌跡E的準(zhǔn)線，

由拋物線的定義知，d=|CF|，其中F(0，)是拋物線的焦點(diǎn)．

∴d+|BC|=|CF|+|BC|．由兩點(diǎn)間直線段最短知，

線段BF與軌跡E的交點(diǎn)即為所求的使d+|BC|最小的點(diǎn)．

由兩點(diǎn)式方程可求得直線BF的方程為，

把它與聯(lián)立，得C()，最小值|BF|=．