Question

已知數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：；   （3）設(shè)

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 見解析  （Ⅲ）見解析

解析:

(1)由,得

令,有  ∴

＝＝又b₁＝2a₁＝2,              

∴      ∴  4分

(2)證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)

1°,當(dāng)n＝1時(shí),a₁＝1,滿足不等式

2°,假設(shè)n＝k(k≥1,k∈N*)時(shí)結(jié)論成立

即,那么                            ＝          即

又由1°,2°可知,n∈N*,都有成立  9分

證法2：由⑴知：　　　∵,,∴

∵  ∵

∴  ∴

當(dāng)n＝1時(shí),,綜上  9分

證法3：

∴為遞減數(shù)列

當(dāng)n＝1時(shí),a_n取最大值　　∴a_n≤1 由(1)中知　  

綜上可知  9分

(3)

欲證：即證    即ln(1＋T_n)－T_n＜0,構(gòu)造函數(shù)f (x)＝ln(1＋x)－x

∵當(dāng)x＞0時(shí),f ' (x)＜0

∴函數(shù)y＝f (x)在(0,＋∞)內(nèi)遞減     

∴f (x)在[0,＋∞)內(nèi)的最大值為f (0)＝0

∴當(dāng)x≥0時(shí),ln(1＋x)－x≤0    又∵T_n＞0,∴l(xiāng)n(1＋T_n)－T_n＜0

∴不等式成立..14分