Question

6．如圖，C、D在半徑為1的圓O上，線段AB是圓O的直徑，則$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$的取值范圍為[-4，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出C的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$，然后化簡(jiǎn)，即可求解它的范圍．

解答 解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系：

設(shè)D（cosθ，sinθ），-π≤θ≤π，
∠CAB=α，$\overrightarrow{AC}$=（a，b），-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
則tanα=$\frac{a}$，a=2cos²α，b=2cosαsinα，
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（a，b）•（cosθ-1，sinθ）
=acosθ+bsinθ-a
=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（θ+φ）-a，
其中tanφ=$\frac{a}$=$\frac{1}{tanα}$，∴α+φ=$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
從而-$\frac{3π}{2}$＜θ+φ＜$\frac{3π}{2}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（θ+φ）-a的最大值是：$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-a，最小值是：-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-a，
最大值為：$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-a=$\sqrt{{（{2cos}^{2}α）}^{2}{+（2cosαsinα）}^{2}}$-2cos²α
=2cosα-2cos²α
=-2${（cosα-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，取最大值$\frac{1}{2}$；
最小值是：-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-a=-2cosα-2cos²α=-2${（cosα+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)α=0時(shí)，取最小值-4；
故答案為：[-4，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．