Question

11．已知f（x）=$\frac{1}{2}$x+sinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）是（　�。�

• A． 僅有極小值的奇函數(shù)
• B． 僅有極小值的偶函數(shù)
• C． 僅有極大值的偶函數(shù)
• D． 既有極小值也有極大值的奇函數(shù)

Answer 1

分析 求出f′（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)x的范圍，得到函數(shù)f′（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合偶函數(shù)的定義判斷即可．

解答 解：∵f（x）的定義域是[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
f′（x）=$\frac{1}{2}$+cosx＞0，
f″（x）=-sinx，
x∈[-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)，f″（x）≥0，
x∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f″（x）≤0，
故f′（x）在[-$\frac{π}{2}$，0）遞增，在（0，$\frac{π}{2}$]，遞減，
而f′（-x）=f′（x），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
故f′（x）是偶函數(shù)且有極大值，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，是一道中檔題．