Question

9．已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上最大值和最小值之差為|a²-a|+1，則實(shí)數(shù)a的值為2或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而建立方程，從而解得．

解答 解：若0＜a＜1，
函數(shù)f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上是減函數(shù)，
故f_min（x）=f（2）=a²+log_a2，f_max（x）=f（1）=a，
故f_max（x）-f_min（x）=a-（a²+log_a2）=|a²-a|+1，
解得，a=$\frac{1}{2}$；
若a＞1，
函數(shù)f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上是增函數(shù)，
故f_max（x）=f（2）=a²+log_a2，f_min（x）=f（1）=a，
故f_max（x）-f_min（x）=（a²+log_a2）-a=|a²-a|+1，
解得，a=2；
故答案為：2或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用．