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數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn與an之間滿足an=
2
S2n
2Sn-1
（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{
1
Sn
}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）..（1+Sn）≥k
2n+1
對(duì)一切n∈N×都成立，求k的最大值．
（1）證明：∵n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1（1分）
∴Sn-Sn-1=
2S2n
2Sn-1
，∴（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2Sn2，
∴=Sn-1-Sn=2SnSn-1（3分）
∴
1
Sn
-
1
Sn-1
=2（n≥2），（5分）
數(shù)列{
1
Sn
}是以
1
S1
=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．（6分）
（2）由（1）知
1
Sn
=1+(n-1)×2=2n-1，
∴Sn=
1
2n-1
，∴Sn+1=
1
2n+1
（7分）
設(shè)F（n）=
(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)  
2n+1
，
則
F(n+1)
F(n)
=
(1+Sn+1)
2n+1
2n+3

=
2n+2
(2n+1)(2n+3)

=
4n2+8n+4
4n2+8n+3
＞1（10分）
∴F（n）在n∈N*上遞增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]min≥k
∵[F（n）]min=F（1）=
2
3
3
，∴0＜k≤
2
3
3
，kmax=
2
3
3
．（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和是Sn，存在常數(shù)A，B使an+Sn=An+B對(duì)任意正整數(shù)n都成立．
（1）設(shè)A=0，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若p＜q，且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
，求p，q的值．
（3）設(shè)A＞0，A≠1，且
an
an+1
≤M對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求M的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a（a∈R），且an+1=
an-3
-an+4
an＞3時(shí)
an≤3時(shí)
n=1，2，3，…．
（I）若0＜a＜1，求a2，a3，a4，a5；
（II）若0＜an＜4，證明：0＜an+1＜4；
（III）若0＜a≤2，求所有的正整數(shù)k，使得對(duì)于任意n∈N*，均有an+k=an成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an（n∈N*），若b3=-2，b10=12，則a8=（　　）
A、0B、3C、8D、11

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•青島二模）已知數(shù)列{an}是以3為公差的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若S10是數(shù)列{Sn}中的唯一最小項(xiàng)，則數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•浙江模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足an=
Sn
+
sn-1
（n≥2）．
（Ⅰ）求證：{
Sn
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若對(duì)任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案