Question

已知a＞0，且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若n∈N*，求；
（Ⅲ）當(dāng)a=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，設(shè)h（x）=（1-e^f（x））（x²-m+1），若函數(shù)h（x）的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)h（x）的極值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知，
當(dāng)時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111124/20111124100229218943.gif">；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111124/20111124100229234936.gif">，
，
當(dāng)時(shí)，x∈，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111124/201111241002292961016.gif">，故f′（x）＜0，所以f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，x∈，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111124/201111241002293431016.gif">，故f′（x）＜0，所以f（x）是減函數(shù)；
（Ⅱ）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111124/201111241002293431073.gif">，所以，
由函數(shù)定義域知＞0，
因?yàn)閚是正整數(shù)，故0＜a＜1，
所以；
 （Ⅲ），
所以，
令h′（x）=0，即，由題意應(yīng)有△≥0，即m≥0，
①當(dāng)m=0時(shí)，h′（x）=0有實(shí)根x=-1，在x=-1點(diǎn)左右兩側(cè)均有，故無極值；
②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，h′（x）=0有兩個(gè)實(shí)根，
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）、h（x）的變化情況如下表所示：

∴h（x）的極大值為，h（x）的極小值為；
③當(dāng)m≥1時(shí)，h′（x）=0在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，，
同上可得h（x）的極大值為；
綜上所述，時(shí)，函數(shù)h（x）有極值，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)h（x）的極大值為，h（x）的極小值為；當(dāng)m≥1時(shí)，h（x）的極大值為。