Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（{a+2}）{x^2}+x（{a∈R}）$
（1）當(dāng)a=0時，記f（x）圖象上動點(diǎn)P處的切線斜率為k，求k的最小值；
（2）設(shè)函數(shù)$g（x）=e-\frac{e^x}{x}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若對?x＞0，f′（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到k=x²-2x+1≥0，從而求出k的最小值即可；
（2）設(shè)$g（x）=e-\frac{e^x}{x}$，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到g（x）≤g（1）=0，可得a≤0即可．

解答 解：（1）f'（x）=x²-（a+2）x+1
設(shè)P（x，y），由于a=0，
所以k=x²-2x+1≥0，
即k_min=0；
（2）設(shè)$g（x）=e-\frac{e^x}{x}$，
則$g'（x）=\frac{{{e^x}（{1-x}）}}{x^2}$，
易知g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，
所以g（x）≤g（1）=0，
由條件知f'（1）≥g（1），可得a≤0
當(dāng)a≤0時，f'（x）=x²-（a+2）x+1=（x-1）²-ax≥（x-1）²≥0，
∴f'（x）≥g（x）對?x＞0成立，
綜上，a≤0．

點(diǎn)評 本題考查了切線的斜率問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．