Question

已知點C(4，0)和直線l：x=1，P是動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且()·()=0，設(shè)P點的軌跡是曲線M．

(Ⅰ)求曲線M的方程；

(Ⅱ)點O是坐標(biāo)原點，是否存在斜率為1的直線m，使m與M交于A、B兩點，且?若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解:(Ⅰ)由知=0知

∴.

設(shè)P(x，y)，代入上式得=2|x-1|

平方整理得=1．

(Ⅱ)假設(shè)存在斜率為1的直線m:y=x+n，使m與M交于A、B兩點，與=1．

聯(lián)立，得2x²-2nx-(n²+12)=0．

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

∴x₁+x₂=n，x₁x₂=，①

，得(x₂-4，y₂)=2(x₁，y₁)，

∴,② 

將②代入①得,

消去x₁，整理得13n²-8n+76=0，因其判別式

△=8²-4×13×76＜0

所以不存在斜率為1的直線m滿足題意．