Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是它的左、右焦點(diǎn)，A是它的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F₁作一條斜率為k的直線交雙曲線于異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，若∠MAN=90°，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)出直線方程，和雙曲線方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后結(jié)合向量數(shù)量積為0得到關(guān)于e的方程，求解方程得答案．

解答 解：由題意設(shè)直線方程為y=k（x+c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b²-a²k²）x²-2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}-^{2}}$．
又A（a，0），
∴$\overrightarrow{MA}=（a-{x}_{1}，-{y}_{1}），\overrightarrow{NA}=（a-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，
由$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{NA}=（a-{x}_{1}）（a-{x}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}=0$，得${a}^{2}-a（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+c）（{x}_{2}+c）=0$．
∴${a}^{2}+（{k}^{2}c-a）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}{c}^{2}=0$．
則${a}^{2}+（{k}^{2}c-a）•\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}+（{k}^{2}+1）•\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}-^{2}}$+k²c²=0．
整理得：e³-3e-2=0，∴e=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題．