Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求通項(xiàng)公式a_n；
（3）設(shè)b_n=n，求{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由an+1=2an+1(n∈N*)變形為 an+1+1=2(an+1)(n∈N*)，即可證明結(jié)論；
（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）利用“錯(cuò)位相減法”和等差數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（1）∵an+1=2an+1(n∈N*)變形為 an+1+1=2(an+1)(n∈N*)，
∴

an+1+1

an+1

=2  (n∈N*)，
∴數(shù)列{a_n+1}成等比數(shù)列．
（2）由（1）知，{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1．
（3）∵b_n=n，
∴an•bn=n (2n-1)，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…a_nb_n=1（2¹-1）+2（2²-1）+3（2³-1）+…n（2ⁿ-1）
=（1•2¹+2•2²+3•2³+…n•2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
令Sn=1•21+2•22+3•23+…n•2n，
2Sn= 1•22+2•23+3•24+…n•2n+1，
兩式相減-Sn=1•21+22+23+…2n-n•2n+1．
∴Sn=2n+1(n-1)+2．
∴Tn=2n+1(n-1)+2-

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，屬于難題．