Question

已知橢圓C:+=1(a＞b＞0).

(1)若點P(x₀,y₀)是橢圓C內(nèi)部的一點，求證：+＜1;

(2)若橢圓C:+=1(a＞b＞0)上存在不同的兩點關(guān)于直線l:y=x+1對稱，試求a、b滿足的關(guān)系式.

Answer 1

(1)證明：設(shè)F₁、F₂為橢圓C的左、右兩個焦點.∵P是橢圓C內(nèi)部的一點，

    ∴|F₁P|+|F₂P|＜2a.

    ∴+＜2a.

    ∴(a²-c²)x₀²+a²y₀²＜a²(a²-c²).

    ∴+＜1(b²=a²-c²).

(2)解：設(shè)橢圓C上關(guān)于直線l對稱的點A、B的坐標為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，線段AB的中點坐標為M(x_m,y_m),則有

   

    ②-①得b²(x₂²-x₁²)+a²(y₂²-y₁²)=0,

    b²(x₂-x₁)(x₂+x₁)+a²(y₂-y₁)(y₂+y₁)=0,

    b²x_m+a²y_m=0,

    把③代入上式得b²x_m-a²y_m=0,    ⑤

    由④和⑤得x_m=,y_m=,

    即M(,).

    ∵點M在橢圓C的內(nèi)部，

    ∴+＜1.

    ∴a²+b²＜(b²-a²)²=(a+b)²(a-b)².

    a、b應(yīng)滿足的不等式為a²+b²＜(a+b)²(a-b)².