Question

4．（1）已知函數(shù)f（x）=x²-2x+3，求該函數(shù)在區(qū)間[-a，a]上的最大值和最小值；
（2）已知函數(shù)f（x）=x²-2x+3，求該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）（2）先求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，對(duì)稱軸為x=1，
①0＜a＜1時(shí)：f（x）在[-a，a]單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（-a）=a²+2a+3，
f（x）_min=f（a）=a²-2a+3，
②-a＜1＜a時(shí)：f（x）在[-a，1]遞減，在（1，a]遞增，
∴f（x）_max=f（-a）=a²+2a+3，
f（x）_min=f（1）=2；
（2）由（1）得：
①a+3≤1，即a≤-2時(shí)：f（x）在[a，a+3]遞減，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3，
f（x）_min=f（a+3）=a²+4a+6，
②-1＜a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)：f（x）在[a，1）遞減，在（1，a+3]遞增，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3，
f（x）_min=f（1）=2，
③-$\frac{1}{2}$≤a＜1時(shí)：f（x）在[a，1）遞減，在（1，a+3]遞增，
∴f（x）_max=f（a+3）=a²+4a+6，
f（x）_min=f（1）=2，
④a≥1時(shí)：f（x）在[a，a+3]遞增，
∴f（x）_max=f（a+3）=a²+4a+6，
f（x）_min=f（a）=a²-2a+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．