Question

函數(shù)f（x）=sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）是（　�。�

A．周期為2π的奇函數(shù)

B．周期為2π的偶函數(shù)

C．周期為π的奇函數(shù)

D．周期為π的偶函數(shù)

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式第二個因式中的角

π

4

-x變形為

π

2

-（

π

4

+x），利用誘導公式sin（

π

2

-α）=cosα化簡，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，最后利用誘導公式sin（

π

2

+α）=cosα化為一個余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)為偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，求出函數(shù)的最小正周期，可得出正確的選項．

解答：解：f（x）=sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）
=sin（

π

4

+x）sin[

π

2

-（

π

4

+x）]
=sin（

π

4

+x）cos（

π

4

+x）
=

1

2

sin（2x+

π

2

）
=

1

2

cos2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
又函數(shù)y=cos2x為偶函數(shù)，∴f（x）為偶函數(shù)，
則f（x）為周期是π的偶函數(shù)．
故選D

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識有：二倍角的正弦函數(shù)公式，誘導公式，以及余弦函數(shù)的奇偶性，其中靈活運用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的三角函數(shù)，進而找出ω的值是求函數(shù)周期的關鍵．