Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x²，a∈R，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x≥1時，f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，得到增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）x=1時顯然成立，當(dāng)x＞1時，運(yùn)用分離參數(shù)，得到當(dāng)x＞1時，a≤

x2

lnx

恒成立．令g（x）=

x2

lnx

，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，令a不大于最小值，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx-x²的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

a

x

-2x=

a-2x2

x

（x＞0），
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）遞減，則f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，x＞

a 2

時，f′（x）＜0，0＜x＜

a 2

時，f′（x）＞0，
則有f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(

a 2

，+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(0，

a 2

)；
（2）x≥1時，f（x）≤0恒成立即為x≥1時，alnx≤x²恒成立，
當(dāng)x=1時，顯然成立，當(dāng)x＞1時，a≤

x2

lnx

恒成立．
令g（x）=

x2

lnx

，g′（x）=

2xlnx-x

(lnx)2

，當(dāng)x＞

e

時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當(dāng)1＜x＜

e

時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
即有x=

e

，g（x）取得極小值，也為最小值，且為

e

1 2

=2e，
則有a≤2e．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．