Question

如圖，已知正四棱柱，點在棱上，截面

∥，且面與底面所成的角為

Ⅰ.求截面的面積；

Ⅱ.求異面直線與AC之間的距離；

Ⅲ.求三棱錐的體積.

 

Answer 1

答案：
解析：

Ⅰ.如圖，連結BD交AC于O，連結EO 因為底面ABCD是正方形， 所以DO⊥AC 又因為ED⊥底面AC， 因為EO⊥AC 所以∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角. 所以 故 II.由題設是正四棱柱，得⊥底面AC，⊥AC， 又⊥ 所以是異面直線與AC間的公垂線. 因為∥面EAC，且面與面EAC交線為EO 所以∥EO 又O是DB的中點， 所以E是的中點，=2EO =2 所以 異面直線與AC間的距離為 Ⅲ. 解法一：如圖，連結 因為=DB= 所以是正方形， 連結交于P，交EO于Q 因為⊥，EO∥， 所以⊥EO 又AC⊥EO，AC⊥ED 所以AC⊥面， 所以⊥AC， 所以⊥面EAC. 所以是三棱錐的高. 由DQ=PQ，得 所以 所以三棱錐的體積是 解法二：連結，則 因為AO⊥面， 所以AO是三棱錐的高，AO 在正方形中，E、O分別是、DB的中 點（如圖）， 則 ∴ 所以三棱錐的體積是