Question

已知函數(shù)是奇函數(shù).

（Ⅰ）求a,c的值；

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-2為奇函數(shù)，

所以，對(duì)任意的x∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2.

又f(x)=x³+ax²+3bx+c,

所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2.

所以

解得a=0，c＝2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x³+3bx+2.

所以f′(x)=3x²+3b(b≠0).

當(dāng)b＜0時(shí)，由f′(x)=0得x=±

x變化時(shí)，f′(x)的變化情況如下表：

x	(-∞,- )	-	(-,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+

所以，當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f (x)在（-∞，-）上單調(diào)遞增，在（-，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.

當(dāng)b＞0時(shí)，f′(x)＞0.所以函數(shù)f (x)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增.