Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）若F為DE的中點(diǎn)，求證：CD⊥AF；
（Ⅱ）求直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AE⊥CD，CD⊥DA，從而CD⊥平面ADE，由此能證明CD⊥AF．
（Ⅱ）過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AD，垂足為H，連結(jié)BH，由已知得AE⊥CD，CD⊥平面ADE，∠EBH是直線(xiàn)BE與平面ABCD所成的角．由此能求出直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AE⊥平面CDE，
∴AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥DA，且DA∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，AF?平面ADE，則CD⊥AF．
（Ⅱ）解：過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AD，垂足為H，連結(jié)BH，
∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，
又∵CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，∴EH⊥平面ABCD，
∴∠EBH是直線(xiàn)BE與平面ABCD所成的角．
RT△ADE中，AE=3，DE=4，∴AD=5，EH=

12

5

．AB∥CD，
∴AB⊥AE，∴BE=

34

，∴sin∠EBH=

HE

BE

=

6 34

85

．
∴直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角的正弦值為

6 34

85

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)垂直的證明，考查直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．