Question

如圖，互不相同的點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分別在角O的兩條邊上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積均相等，設(shè)OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)，利用已知可得A₁B₁是三角形OA₂B₂的中位線(xiàn)，得到==，梯形A₁B₁B₂A₂的面積=3S．由已知可得梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積=3S．利用相似三角形的性質(zhì)面積的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此數(shù)列{}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為3等差數(shù)列，即可得到a_n．
解答：解：設(shè)，∵OA₁=a₁=1，OA₂=a₂=2，A₁B₁∥A₂B₂，
∴A₁B₁是三角形OA₂B₂的中位線(xiàn)，∴==，∴梯形A₁B₁B₂A₂的面積=3S．
故梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積=3S．
∵所有A_nB_n相互平行，∴所有△OA_nB_n（n∈N^*）都相似，∴，，，…，
∵，∴，，…．
∴數(shù)列{}是一個(gè)等差數(shù)列，其公差d=3，故=1+（n-1）×3=3n-2．
∴．
因此數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角形的中位線(xiàn)定理、相似三角形的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．