Question

（2012•泰安一模）已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=2時，f（x）=x²-5x+2lnx，由f′(x)=2x-5+

2

x

，知f′（1）=2-5+2=-1，由此能夠求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（II）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2 =a．由此進行分類討論，能夠求出結(jié)果．

解答：解：（I）當(dāng)a=2時，f（x）=x²-（2a+1）x+alnx=x²-5x+2lnx，
∴f′(x)=2x-5+

2

x

，
∴f′（1）=2-5+2=-1，
∵f（1）=1-5=-4，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：x+y+3=0．
（II）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，
令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2 =a．
①當(dāng)a＞

1

2

時，由f′（x）＞0，得x＞a，或x＜

1

2

，
f（x）在(0，

1

2

)，（a，+∞）是單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0，得

1

2

＜x＜a，
∴f（x）在(

1

2

，a)上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a=

1

2

時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)0＜a＜

1

2

時，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，或x＞

1

2

，
∴f（x）在（0，a），（

1

2

，+∞）上單調(diào)增加，
由f′（x）＜0，得a＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（a，

1

2

）上單調(diào)遞減．
④當(dāng)a≤0時，由f′（x）＞0，得x＞

1

2

，
∴f（x）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點處的切線方程的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數(shù)的單調(diào)性的靈活運用．