已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋bx(a、b為常數(shù))，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)．
(1)求f(x)的表達式；
(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值、最小值．
解 (1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)為奇函數(shù)．∴g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＝－
x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，
∴g′(x)＝－x2＋2.
令g′(x)＝0，
解得x1＝－
，x2＝，
∴當(dāng)x∈(－∞，－)，(，＋∞)時，g(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(－，)時，g(x)單調(diào)遞增．
又g(1)＝
，g()＝
，g(2)＝
，
∴g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為g()＝，
最小值為g(2)＝.
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已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)．對函數(shù)y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h(x)(x∈I)．y＝h(x)滿足：對任意x∈I，兩個點(x，h(x))，(x，g(x))關(guān)于點(x，f(x))對稱．若h(x)是g(x)＝
關(guān)于f(x)＝3x＋b的“對稱函數(shù)”，且h(x)>g(x)恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值．
(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
對于在R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－a)f′(x)≥0，則必有( )
A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)
C．f(x)>f(a) D．f(x)<f(a)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知f(x)＝
x2－cosx，x∈[－1,1]，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)是( )
A．僅有最小值的奇函數(shù)
B．既有最大值，又有最小值的偶函數(shù)
C．僅有最大值的偶函數(shù)
D．既有最大值，又有最小值的奇函數(shù)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,5]，部分對應(yīng)值如下表，f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示.
| x | －1 | 0 | 2 | 4 | 5 |
| f(x) | 1 | 2 | 1.5 | 2 | 1 |
下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題：
①函數(shù)f(x)的值域為[1,2]；
②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當(dāng)1<a<2時，函數(shù)y＝f(x)－a最多有4個零點．
其中正確命題的序號是________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知f(x)為定義在(－∞，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)<f′(x)，對于任意x∈R恒成立，則( )
A．f(2)>e2·f(0)，f(2 010)>e2 010·f(0)
B．f(2)<e2·f(0)，f(2 010)>e2 010·f(0)
C．f(2)>e2·f(0)，f(2 010)<e2 010·f(0)
D．f(2)<e2·f(0)，f(2 010)<e2 010·f(0)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
若函數(shù)f(x)，g(x)滿足
f(x)·g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數(shù)．給出三組函數(shù)：
①f(x)＝sin
x，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
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