Question

（2009•河北區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

3 a

2

sin4x-3cos4x，且f(

π

24

)=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期T和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-

5π

24

，

π

24

)，求θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后根據(jù)f（

π

24

）=0求出a的值，確定出函數(shù)解析式，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，求出周期T，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由θ的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出θ的度數(shù)即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2

3

asinxcosxcos2x-6cos²2x+3=

3 a

2

sin4x-3cos4x，
∵f（

π

24

）=0，∴

3 a

2

sin

π

6

-3cos

π

6

=0，解得：a=6，
∴f（x）=3

3

sin4x-3cos4x=6sin（4x-

π

6

），
∴函數(shù)f（x）的周期T=

π

2

，
令-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，得到-

π

12

+

kπ

2

≤x≤

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
則f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

12

+

kπ

2

，

π

6

+

kπ

2

]，k∈Z；
（Ⅱ）依題意得sin（4θ-

π

6

）=-

1

2

，
∵θ∈（-

5π

24

，

π

24

），∴-π＜4θ-

π

6

＜0，
∴4θ-

π

6

=-

π

6

或-

5π

6

，
解得：θ=0或-

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．