Question

設數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足：對任意n∈N⁺，都有ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，b_n=a_n-n•2^n-1．其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）當b=2時，求{b_n}的通項公式，進而求出{a_n}的通項公式；
（2）當b≠2時，求數(shù)列{a_n}的通項a_n以及前n項和S_n．

Answer 1

由題意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1．
兩式相減得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，
即an+1=ban+2n．①
（1）當b=2時，由①知an+1=2an+2n，
∴an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)，
又a1-1×21-1=2-1=1≠0，
所以{an-n•2n-1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
可得，bn=2n-1，
由bn=an-n•2n-1，得an=(n+1)•2n-1．
（2）當b≠2時，由①得
an+1-

1

2-b

•2n+1=ban+2n-

1

2-b

•2n+1=ban-

b

2-b

•2n=b(an-

1

2-b

•2n)

若b=0，an=

2，n=1 2n-1，n≥2

，Sn=2n；
若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2；
若b≠0，1，數(shù)列{an-

1

2-b

•2n}是以

2(1-b)

2-b

為首項，以b為公比的等比數(shù)列，
故an-

1

2-b

•2n=

2(1-b)

2-b

•bn-1，
∴an=

1

2-b

[2n+(2-2b)bn-1]，
∴S_n=

1

2-b

(2+22+23+…+2n)+

2(1-b)

2-b

(1+b+b2+…+bn-1)
=

1

2-b

×

2(2n-1)

2-1

+

2(1-b)

2-b

×

bn-1

b-1

=

2(2n-bn)

2-b

當b=1時，Sn=2n+1-2也符合上式．
所以，當b≠0時，Sn=

2(2n-bn)

2-b

．