Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中點(diǎn)，
(1)求異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
(2)證明：平面ABM⊥平面A₁B₁M。

Answer 1

(1)解：因?yàn)镃₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁為異面直線A₁M與C₁D₁所成的角，
因?yàn)锳₁B₁⊥平面BCC₁B₁，所以∠A₁B₁M=90°，
而A₁B₁=1，B₁M=
故tan∠MA₁B₁=，
即異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值為。
(2)證明：由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM平面BCC₁B₁，得A₁B₁⊥BM，�、�
由(1)知，B₁M=，
又BM=，B₁B=2，所以，
從而BM⊥B₁M，�、�
又A₁B₁∩B₁M=B₁，再由①②得BM⊥平面A₁B₁M，
而BM平面ABM，
因此平面ABM⊥平面A₁B₁M。