Question

18.在棱長為4的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點P在棱CC₁上，且CC₁=4CP.

(Ⅰ)求直線AP與平面BCC₁B₁所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；

(Ⅱ)設(shè)O點在平面D₁AP上的射影是H，求證：D₁H⊥AP；

(Ⅲ)求點P到平面ABD₁的距離.

Answer 1

18.本小題主要考查線面關(guān)系和正方體性質(zhì)等基本知識，考查空間想象

能力和推理論證能力.

解法一：(Ⅰ)連結(jié)BP,

∵AB⊥平面BCC₁B₁,

∴∠APB是AP與面BB₁C₁C所成的角.

∵CC₁=4,CC₁=4PC,∴PC=1,

在Rt△CBP中,∠PCB為直角,BC=4,PC=1,故PB=.

在Rt△ABP中, ∠ABP為直角,tanAPB===.

∴∠APB=arctan.

即直線AP與平面BCC₁B₁所成的角為arctan.

解法二：∵AB⊥平面BCC₁B₁,

∴AP與平面BCC₁B₁所成的角就是∠APB.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點為D.

∵CC₁=4CP,CC₁=4,∴CP=1,A(4,0,0),P(0,4,1),B(4,4,0).

∴=(4,－4,－1),=(4,0,－1).

∵·=16+0+1=17.

∴cosAPB===.

∴直線AP與平面BCC₁B₁所成的角為arccos.

(Ⅱ)解法一：連結(jié)A₁C₁、B₁D₁.

∵四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形,∴D₁O⊥A₁C₁.

又∵AA₁⊥底面A₁B₁C₁D₁,∴AA₁⊥D₁O.

∵AA₁∩A₁C₁=A₁,∴D₁O⊥平面A₁APC₁.

由于AP平面A₁APC₁,∴D₁O⊥AP.

∵平面D₁AP的斜線D₁O在這個平面內(nèi)的射影是D₁H，

∴D₁H⊥AP.

解法二：連結(jié)D₁O,由(Ⅰ)有D₁(0,0,4),O(2,2,4),∴=(2,2,0).

·=8－8+0=0.∴⊥.

∵平面D₁AP的斜線D₁O在這個平面內(nèi)的射影是D₁H,∴D₁H⊥AP.

(Ⅲ)解法一：連結(jié)BC₁,在平面BCC₁B₁中,過點P作PQ⊥BC₁于點Q.

∵AB⊥平面BCC₁B₁,PQ平面BCC₁B₁,∴PQ⊥AB.

∴PQ⊥平面ABC₁D₁.

∴PQ就是點P到平面ABD₁的距離.

在Rt△C₁PQ中,∠C₁QP=90°,∠PC₁Q=45°,PC₁=3,

∴PQ=，即點P到平面ABD₁的距離為.

解法二：同解法一.