Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；
（2）設l與圓C交于A、B兩點，若|AB|=，求l的傾斜角．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑R，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，判斷出d小于等于1，即d小于圓的半徑R，可得直線與圓相交，則對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點，得證；
（2）由直線l與圓C交于A，B兩點，AB為圓C的弦，根據(jù)垂徑定理得到弦長的一半，圓的半徑及弦心距d構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出直線l的方程，進而求出直線l的傾斜角．
解答：解：（1）圓C的圓心坐標為（0，1），半徑為，
∵圓心C到直線l的距離（m∈R），
即，
∴直線l與圓C相交，
則對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；
（2）∵R=，d=，|AB|=，
∴根據(jù)垂徑定理及勾股定理得：，即，
整理得：m²=3，解得：，
∴直線l的方程為=0或，
則直線l的傾斜角為：60°或120°．
點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，以及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是一道綜合性較強的中檔題．