Question

16．已知拋物線C：y=-x²+4x-3．
（1）求拋物線C在點A（0，-3）和點B（3，0）處的切線的交點坐標；
（2）求拋物線C與它在點A和點B處的切線所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合點A（0，-3）和點B（3，0）都在拋物線上，即可求出切線的方程，可得結論；
（2）可得直線與拋物線的交點的坐標和兩切線與x軸交點的坐標，根據定積分在求面積中的應用公式即可求得所圍成的面積S即可．

解答 解：（1）因為y=-x²+4x-3，所以y′=-2x+4，
所以x=0時，y′=4；x=3時，y′=-2；
所以拋物線C在點A（0，-3）的切線方程為y=4x-3，在點B（3，0）處的切線的方程為y=-2x+6，
所以交點坐標為（1.5，3）；
（2）S=S_△ABM-${∫}_{0}^{3}[（-{x}^{2}+4x-3）-（x-3）]dx$=$\frac{27}{4}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{4}$，
即拋物線C與它在點A和點B處的切線所圍成的圖形的面積為$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、定積分在求面積中的應用等基礎知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．