Question

17．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²-4lnx，a≥0．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對一切x∈[2，e]，f（x）≤-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，當(dāng)a=1時，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令g（x）=a（x-1）²-4lnx+1，求出g（x）_max=g（e）=a（e-1）²-4lne+1=a（e-1）²-3，利用對一切x∈[2，e]，f（x）≤-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
當(dāng)a=1時，f（x）=（x-1）²-4lnx，
∴f′（x）=2（x-1）-$\frac{4}{x}$=$\frac{2（x-2）（x+1）}{x}$
由f′（x）＞0可得x＞2．f′（x）＜0可得0＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，2）；
（Ⅱ）令g（x）=a（x-1）²-4lnx+1，則x∈[2，e]，g′（x）=2a（x-1）-$\frac{4}{x}$＞0，
∴g（x）=a（x-1）²-4lnx+1在x∈[2，e]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_max=g（e）=a（e-1）²-4lne+1=a（e-1）²-3，
∵對一切x∈[2，e]，f（x）≤-1恒成立，
∴a（e-1）²-3≤0
∴a≤$\frac{3}{（e-1）^{2}}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．