Question

    已知整數(shù)數(shù)列滿足：，.

(1) 求數(shù)列的通項公式；

(2) 將數(shù)列中的所有項依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表：

……

依次計算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，

求的值；

(3) 令 (為大于等于的正整數(shù))，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？

若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）因為數(shù)列是整數(shù)列，所以是整數(shù)， 所以都是整數(shù)，

又，所以.……3分

即數(shù)列是首項為1，公差的等差數(shù)列，

所以.                                      ……………5分

（2）設(shè)每一個循環(huán)（4行）記為一組，由于每一個循環(huán)含有4行，

故是第25個循環(huán)中第4行中各數(shù)之和.                      ……………6分

由循環(huán)分組規(guī)律知，每個循環(huán)共有10項，

故第25個循環(huán)中的第4行內(nèi)的4個數(shù)分別為數(shù)列 的第247項至第250項，又，

所以.…8分

又，所以.      ……………10分

（3）因為， 設(shè)數(shù)列中，成等比數(shù)列，

即，所以.

化簡得.  (*)                               ……………12分

當(dāng)時，，等式(*)成立，而，故等式(*)不成立；

當(dāng)時，，等式(*)成立；

當(dāng)時，，這與矛盾，

這時等式(*)不成立.                               …………   …14分

綜上所述，當(dāng)時，數(shù)列中不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列；

當(dāng)時，數(shù)列中的第二、三、四項成等比數(shù)列，這三項依次是18，30，50. ………16分