Question

6．以雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的一個焦點F為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，則該圓的面積為（　�。�

• A． π
• B． 3π
• C． 6π
• D． 9π

Answer 1

分析 因雙曲線的焦點在x軸上，所以其右焦點坐標為（c，0），漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{a}$x，故滿足要求的圓的半徑為右焦點到漸近線的距離，求解圓的面積即可．

解答 解：由題意雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}$=1，知圓的半徑等于右焦點（c，0）到其中一條漸近線 y=$\frac{\sqrt{3}}{a}$x的距離，
根據(jù)點到直線的距離公式得：
R=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{a}×\sqrt{{a}^{2}+3}|}{\sqrt{\frac{3}{{a}^{2}}+1}}$=$\sqrt{3}$．解得a²=3，
圓的面積為：（$\sqrt{3}$）²π=3π
故選：B．

點評 本小題主要考查雙曲線的簡單性質、圓與圓錐曲線的綜合、方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．