Question

分類討論，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）在區(qū)間[m，n]上的最值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）當a＞0時，二次函數(shù)開口向上，分對稱軸在閉區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別求得函數(shù)的最值．
（2）當a＜0時，二次函數(shù)開口向下，分對稱軸在閉區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別求得函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）當a＞0時，二次函數(shù)開口向上，①若-

b

2a

＜m，二次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，
故 f_min（x）=f（m），f_max（x）=f（n）．
②若m≤-

b

2a

≤n，二次函數(shù)開口向上，且對稱軸在區(qū)間[m，n]上，f_min（x）=f（-

b

2a

）=

4ac-b2

4a

，
 f_max（x）=max{f（m），f（n）}．
③若-

b

2a

≥n，二次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減，f_min（x）=f（n），f_max（x）=f（m）．
（2）當a＜0時，二次函數(shù)開口向下，①若-

b

2a

＜m，二次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減，
f_min（x）=f（n），f_max（x）=f（m）．
②若m≤-

b

2a

≤n，二次函數(shù)開口向上，且對稱軸在區(qū)間[m，n]上，f_max（x）=f（-

b

2a

）=

4ac-b2

4a

，
f_min（x）=max{f（m），f（n）}．
③若-

b

2a

≥n，二次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，f_min（x）=f（m），f_max（x）=f（n）．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．