Question

8．若實數(shù)數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+2}}=|{{a_{n+1}}}|-{a_n}（n∈{N^*}）$，則稱數(shù)列{a_n}為“P數(shù)列”．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是P數(shù)列，且a₁=0，a₄=1，求a₃，a₅的值；
（Ⅱ）求證：若數(shù)列{a_n}是P數(shù)列，則{a_n}的項不可能全是正數(shù)，也不可能全是負數(shù)；
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}為P數(shù)列，且{a_n}中不含值為零的項，記{a_n}前2016項中值為負數(shù)的項的個數(shù)為m，求m所有可能取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出a₃=|a₂|-a₀=|a₂|，a₄=|a₃|-a₂=|a₂|-a₂，由此能求出a₃，a₅的值．
（Ⅱ）假設(shè)P數(shù)列{a_n}的項都是正數(shù)，則a_n+2=a_n+1-a_n，a_n+3=a_n+2-a_n+1=-a_n＜0，與假設(shè)矛盾；假設(shè)P數(shù)列{a_n}的項都是負數(shù)，則a_n+2=|a_n+1|-a_n＞0，與假設(shè)矛盾，由此能證明{a_n}的項不可能全是正數(shù)，也不可能全是負數(shù)．
（Ⅲ）存在最小的正整數(shù)k滿足a_k＜0，a_k+1＞0（k≤5），數(shù)列{a_n}是周期為9的數(shù)列，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）因為{a_n}是P數(shù)列，且a₁=0，
所以a₃=|a₂|-a₀=|a₂|，
所以a₄=|a₃|-a₂=|a₂|-a₂，
所以|a₂|-a₂=1，解得${a_2}=-\frac{1}{2}$…．（1分）
所以${a_3}=\frac{1}{2}，{a_5}=|{a_4}|-{a_3}=\frac{1}{2}$．…．（3分）
證明：（Ⅱ）假設(shè)P數(shù)列{a_n}的項都是正數(shù)，即a_n＞0，a_n+1＞0，a_n+2＞0，
所以a_n+2=a_n+1-a_n，a_n+3=a_n+2-a_n+1=-a_n＜0，與假設(shè)矛盾．
故P數(shù)列{a_n}的項不可能全是正數(shù)，…．（5分）
假設(shè)P數(shù)列{a_n}的項都是負數(shù)，
則a_n＜0，而a_n+2=|a_n+1|-a_n＞0，與假設(shè)矛盾，….7分
故P數(shù)列{a_n}的項不可能全是負數(shù)．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知P數(shù)列{a_n}中項既有負數(shù)也有正數(shù)，
且最多連續(xù)兩項都是負數(shù)，最多連續(xù)三項都是正數(shù)．
因此存在最小的正整數(shù)k滿足a_k＜0，a_k+1＞0（k≤5）．
設(shè)a_k=-a，a_k+1=b（a，b＞0），
則a_k+2=b+a，a_k+3=a，a_k+4=-b，a_k+5=b-a．a(chǎn)_k+6=|b-a|+b，a_k+7=|b-a|+a，a_k+8=a-b，a_k+9=-a，a_k+10=b，
故有a_k=a_k+9，即數(shù)列{a_n}是周期為9的數(shù)列…．（9分）
由上可知a_k，a_k+1，…，a_k+8這9項中，
a_k，a_k+4為負數(shù)，a_k+5，a_k+8這兩項中一個為正數(shù)，另一個為負數(shù)，其余項都是正數(shù)．
因為2016=9×224，
所以當k=1時，m=224×3=672；
當2≤k≤5時，a₁，a₂，…，a_k-1這k-1項中至多有一項為負數(shù)，而且負數(shù)項只能是a_k-1，
記a_k，a_k+1，…，a₂₀₁₆這2007-k項中負數(shù)項的個數(shù)為t，
當k=2，3，4時，若a_k-1＜0，則b=a_k+1=|a_k|-a_k-1＞|a_k|=a，故a_k+8為負數(shù)，
此時t=671，m=671+1=672；
若a_k-1＞0，則b=a_k+1=|a_k|-a_k-1＜|a_k|=a，故a_k+5為負數(shù)．
此時t=672，m=672，
當k=5時，a_k-1必須為負數(shù)，t=671，m=672，…．（12分）
綜上可知m的取值集合為{672}．…．（13分）

點評 本題考查數(shù)列中第3項和第5項的求法，考查數(shù)列中的項不可能全是正數(shù)，也不可能全是負數(shù)的證明，考查實數(shù)的集合的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運用．