Question

已知函數(shù).

（1）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設(shè)，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上是否存在兩點(diǎn)、，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

【解析】

試題分析：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

			0
			0		0
			極小值		極大值

∵，，，

即最大值為，．                  4分

（2）由，得．

，且等號不能同時(shí)取，，

恒成立，即．

令，求導(dǎo)得，，

當(dāng)時(shí)，，從而，

在上為增函數(shù)，，．            8分

（3）由條件，，

假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，

不妨設(shè)，則，且．

是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

， ，              10分

是否存在等價(jià)于方程在且時(shí)是否有解．

①若時(shí)，方程為，化簡得，

此方程無解；                            11分

②若時(shí)，方程為，即，

設(shè)，則，

顯然，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，

的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061409024935233467/SYS201306140903430398749791_DA.files/image067.png">，即，

當(dāng)時(shí)，方程總有解．

對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．      14分

考點(diǎn)：函數(shù)最值及與之相關(guān)的不等式問題

點(diǎn)評：求函數(shù)最值通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得極值，比較極值與閉區(qū)間的邊界值的大小得最值，不等式恒成立中求參數(shù)范圍的題目常采用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題