Question

9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB=（3c-b）cosA．
（1）求sinA；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，且△ABC的面積為$\sqrt{2}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目條件結(jié)合三角形的正弦定理以及三角形內(nèi)角和定理可得sinA；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，再結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理，即可求b+c的值．

解答 解：（1）∵acosB=（3c-b）cosA．
∴sinAcosB=3sinCcosA-sinBcosA
即sinAcosB+sinBcosA=3cosAsinC
∴sinC=3cosAsinC
∵0＜C＜π，sinC≠0．
∴1=3cosA，即cosA=$\frac{1}{3}$，
那么sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）△ABC的面積為$\sqrt{2}$，sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{2}$，
可得bc=3
∵a=2$\sqrt{2}$，
由余弦定理：可得$^{2}+{c}^{2}-\frac{2}{3}bc=8$
∴$（b+c）^{2}-\frac{8}{3}bc=8$
可得：（b+c）²=16
故得a=2$\sqrt{2}$，且△ABC的面積為$\sqrt{2}$，則b+c的值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面積公式的靈活運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．