Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△的面積為，且橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)為△的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）存在直線，且直線的方程為．

【解析】

試題分析：（1）由題意可得的兩個關(guān)系式即，解之即可得橢圓的方程；（2）先假設(shè)存在直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且橢圓的右焦點(diǎn)恰為的垂心．設(shè)出，坐標(biāo)，由（1）中所求橢圓方程，可得，點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)恰為的垂心，則，就可得到含，，，的等式，再設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，求，，，，均用含的式子表示，再代入上面所求等式中，求，若能求出，則存在直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且橢圓的右焦點(diǎn)恰為的垂心，若求不出，則不存在直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且橢圓的右焦點(diǎn)恰為的垂心．

試題解析：（1）由題意可得，解得，，故橢圓方程為． 　　

（2）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心，設(shè)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720342009297100/SYS201411172034244055511738_DA/SYS201411172034244055511738_DA.033.png">，，故．于是設(shè)直線的方程為，

由得．

由，得， 且,．

由題意應(yīng)有，又，

故，得．

即．

整理得．

解得或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，△不存在，故舍去．

當(dāng)時，所求直線存在，且直線的方程為．

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．