Question

15．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若C=2B，求證：cosA=3cosB-4cos³B；
（Ⅱ）若bsinB-csinC=a，且△ABC的面積S=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，求角B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，利用分析法即可證明．
（Ⅱ）利用余弦定理、正弦定理、三角形的面積公式，結(jié)合二倍角公式，即可求出B．

解答 解：（Ⅰ）證明：
∵cosA=3cosB-4cos³B，
?cosA=cosB（3-4cos²B），
?cosA=cosB（3-4×$\frac{1+cos2B}{2}$），
?cosA=cosB-2cosBcos2B，
?cosA+2cosBcos2B=cosB，
∵C=2B，可得：A=π-B-C=π-3B，
∴原式?-cos3B+2cosBcosC=cosB，
?2cosBcosC-cosB=cos3B，
?2cosBcosC-cosB=cos（B+C）=cosBcoC-sinBsinC，
?cosBcosC-cosB=-sinBsinC，
?cosBcosC+sinBsinC=cosB，
?cos（C-B）=cosB，
?cos（2B-B）=cosB，顯然成立，故得證cosA=3cosB-4cos³B．
（Ⅱ）在△ABC中，∵S=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bccosA，
∴tanA=1，
∴A=45°
∵bsinB-csinC=a，
∴sin²B-sin²C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos2C-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（270°-2B）-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-sin2B-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（2B+45°）=-1，
∴2B+45°=270°，
∴B=112.5°．
故B=112.5°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了余弦定理、正弦定理、三角形的面積公式、二倍角公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題．