Question

已知函數(shù)y=f（x）的周期為2，當x∈[0，2]時，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-5|，則函數(shù)y=g（x）的所有零點之和為（ ）
A．20
B．40
C．60
D．80

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)函數(shù)的周期性畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，以及令h（x）=log₅|x-5|的圖象，結合圖象可得當x＞10時，h（x）=log₅|x-5|＞1，此時與函數(shù)y=f（x）無交點，再根據(jù)y=log₅|x-5|的圖象關于直線x=5對稱，結合圖象即可判定函數(shù)g（x）=f（x）-log₅|x-5|的零點之和；
解答：解：由題意可得g（x）=f（x）-log₅|x-5|，根據(jù)周期性畫出函數(shù)f（x）=（x-1）²的圖象，
g（x）=f（x）-log₅|x-5|有零點，可得g（x）=0即f（x）=log₅|x-5|，
以及h（x）=log₅|x-5|的圖象，

根據(jù)h（x）=log₅|x-5|在（5，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，當x=6 時，h（x）=log₅|6-5|=0，
∴當x＞10時，y=log₅|x-5|＞1，此時與函數(shù)y=f（x）無交點．
再根據(jù)h（x）=log₅|x-1|的圖象和 f（x）的圖象都關于直線x=5對稱，結合圖象可知有8個交點，
則函數(shù)g（x）=f（x）-log₅|x-5|的零點之和為4×10=40，
故選B
點評：本題考查函數(shù)的零點，求解本題，關鍵是研究出函數(shù)f（x）性質，作出其圖象，將函數(shù)g（x）=f（x）-|log₅x-5|的零點個數(shù)的問題轉化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題是本題中的一個亮點，此一轉化使得本題的求解變得較容易，屬于中檔題．